Практическое занятие по теме обратные тригонометрические функции. «обратные тригонометрические функции» - Документ

Выпускная работа на тему "Обратные тригонометрические функции. Задачи, содержащие обратные тригонометрические функции" выполнена на курсах повышения квалификации.

Содержит краткий теоретический материал, разобранные примеры и задачи для самостоятельного решения по каждому разделу.

Работа адресована учащимся старших классов, учителям.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ВЫПУСКНАЯ РАБОТА

ТЕМУ:

«ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»

Выполнила:

учитель математики

МОУ СОШ №5, г. Лермонтова

ГОРБАЧЕНКО В.И.

Пятигорск 2011

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Решения простейших уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Таблица 1.

1.2. Решение простейших неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Таблица 2.

1.3. Некоторые тождества для обратных тригонометрических функций

Из определения обратных тригонометрических функций, вытекают тождества

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Кроме того, верны тождества

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Тождества, связывающие разноименные обратные тригонометрические функции

(9)

(10)

2. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

2.1. Уравнения вида и т.д.

Такие уравнения сводятся к рациональным уравнениям подстановкой.

Пример.

Решение.

Замена () приводит уравнение к квадратному, корни которого .

Корень 3 не удовлетворяет условию .

Тогда получаем обратную подстановку

Ответ .

Задачи.

2.2. Уравнения вида , где - рациональная функция.

Для решения уравнений такого вида необходимо положить , решить уравнение простейшего вида и сделать обратную подстановку.

Пример .

Решение .

Пусть . Тогда

Ответ . .

Задачи .

2.3. Уравнения, содержащие либо разные аркфункции, либо аркфункции от разных аргументов.

Если в уравнение входят выражения, содержащие разные аркфункции, или эти аркфункции зависят от разных аргументов, то сведение таких уравнений к их алгебраическому следствию осуществляется обычно вычислением некоторой тригонометрической функции от обеих частей уравнения. Получающиеся при это посторонние корни отделяются проверкой. Если в качестве прямой функции выбирается тангенс или котангенс, то решения входящие в область определения этих функций могут быть потеряны. Поэтому перед вычислением значения тангенса или котангенса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что среди точек, не входящих в область определения этих функций, нет корней исходного уравнения.

Пример.

Решение .

Перенесем в правую часть и вычислим значение синуса от обеих частей уравнения

В результате преобразований получим

Корни этого уравнения

Сделаем проверку

При имеем

Таким образом, является корнем уравнения.

Подставляя , заметим, что левая часть получившегося соотношения положительна, а правая часть отрицательна. Таким образом, - посторонний корень уравнения.

Ответ. .

Задачи.

2.4. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции одного аргумента.

Такие уравнения можно свести к простейшим с помощью основных тождеств (1) – (10).

Пример .

Решение.

Ответ.

Задачи.

3. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

3.1. Простейшие неравенства.

Решения простейших неравенств основано на применении формул табл.2.

Пример.

Решение.

Т.к. , то решением неравенства является промежуток .

Ответ .

Задачи.

3.2. Неравенства вида , - некоторая рациональная функция.

Неравенства вида , - некоторая рациональная функция, а - одна из обратных тригонометрических функций решаются в два этапа – сначала решается неравенство относительно неизвестного , а затем простейшее неравенство, содержащее обратную тригонометрическую функцию.

Пример.

Решение.

Пусть , тогда

Решения неравенства

Возвращаясь к исходному неизвестному, получаем, что исходное неравенство сводиться к двум простейшим

Объединяя эти решения, получаем решения исходного неравенства

Ответ .

Задачи.

3.3. Неравенства, содержащие либо разноименные аркфункции, либо аркфункции разных аргументов.

Неравенства, связывающие значения различных обратных тригонометрических функций или значения одной тригонометрической функции, вычисленные от различных аргументов, удобно решать, вычислив значения некоторой тригонометрической функции от обеих частей неравенств. Следует помнить, что получающееся при этом неравенство будет равносильно исходному лишь в том случае, когда множество значений правой и левой частей исходного неравенства принадлежат одному и тому же промежутку монотонности этой тригонометрической функции.

Пример.

Решение.

Множество допустимых значений , входящих в неравенство: . При . Следовательно, значения не являются решениями неравенства.

При как правая часть, так и левая часть неравенства имеют значения, принадлежащие промежутку . Т.к. на промежутке функция синус монотонно возрастает, то при исходное неравенство равносильно

Решаем последнее неравенство

Пересекая с промежутком , получим решение

Ответ.

Замечание. Можно решить с использованием

Задачи.

3.4. Неравенство вида , где - одна из обратных тригонометрических функций, - рациональная функция.

Такие неравенства решаются с помощью подстановки и сведением к простейшему неравенству табл.2.

Пример.

Решение.

Пусть , тогда

Сделаем обратную подстановку, получим систему

Ответ .

Задачи.

Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия №2

Учитель математики

Габриелян Жасмена Артушовна

Пояснительная записка.

Предлагаемая программа элективного учебного предмета разработана для учащихся профильных (10-11-х) классов физико-математического направления и рассчитана на 17 часов; из них 9 часов отводится на изучение теоретического материала, 8 часов отводится на практические занятия. В конце изучения данного учебного предмета учащиеся выполняют зачетную работу, состоящую из теоретической и практической частей. Программа предназначена для учеников, которые выбрали для себя ту специальность, где математика играет роль основного аппарата, специфического средства для изучения закономерностей окружающего мира и вопросов, связанных с экономической деятельностью.

Цель предмета : обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний общеобразовательной программы по математике по теме «Обратные тригонометрические функции», приобретение практических умений выполнения заданий с обратными тригонометрическими функциями, повышение уровня математической подготовки школьников.

Задачи предмета :

Развить мыслительные и творческие способности учащихся;

Познакомить учащихся с приложением теоретических знаний при решении конкурсных и олимпиадных задач;

Вовлечь учащихся в самостоятельную работу;

Научить учащихся работать со справочной и научной литературой;

Научить оформлению зачетной работы с использованием компьютерных технологий;

Способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;

Способствовать формированию познавательного интереса к математике.

Требования к уровню усвоения учебного материала.

В результате изучения программы элективного учебного предмета «Обратные тригонометрические функции» учащиеся:

должны знать : определения обратных тригонометрических функций; основные свойства и формулы обратных тригонометрических функций; методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции;

должны уметь : применять определения, свойства обратных тригонометрических функций при решении конкурсных и олимпиадных задач; читать и строить графики функций, аналитическое выражение которых содержит понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса; решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс.

Обратная функция. График обратной функции. Определения обратных тригонометрических функций: у=arcsinx,у=arccosx, у=arctgx, у=arcctgx.

Значения функций у=arcsinx и у=arccosx в точках

Значения функции у=arctgx в точках Нахождение числовых значений у=arctgx, у=arcsinx, у=arccosx с использованием вычислительной техники.

Область определения, множество значений, монотонность функций y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, непрерывность,ограниченность,наибольшее и наименьшее значения, экстремумы.

Графики функций y=arcsinx, y=arсcosх, y=arctgх и функций, связанных с ними.Тождества для обратных тригонометрических функций. Преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.Значения основных тригонометрических функций от обратных. Уравнения и неравенства, системы уравнений и системы неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Производные и первообразные обратных тригонометрических функций. Исследование функций, содержащих обратные тригонометрические функции и построение их графиков.

Тематическое планирование занятий по курсу

«Обратные тригонометрические функции»

Литература

1. Вересова Е.е., Денисова Н.С., Полякова Т.П. Практикум по решению математических задач.- Москва «Просвещение»,1979 г.

2. Ишханович Ю.А. Введение в современную математику. Москва «Наука»,1965 г.

3. Кущенко В.С. Сборник конкурсных задач по математике. Москва «Просвещение»,1979 г.

4. Никольский С.М. Элементы математического анализа. Москва «Наука», 1989 г.

5. Понтрягин Л.С. Математический анализ для школьников. Москва «Наука», 1983 г.

6. Цыпкин А.Г. Справочник по математике. Москва «Наука», 1983 г.

7. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике. Москва «Наука»,1984 г.

обратных функций таблица 3 Аргумент Функция sin  cos ... , то следует воспользоваться свойствами соответствующих обратных тригонометрических функций , тогда: При а = 1; ...

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции

Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

1. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.

Пример 1

Решим уравнение: a ) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x 1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x 1 . По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z .

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin , синус которого равен а, т. е.

Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка , косинус которого равен а, т. е.

Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.

Пример 2

Найдем:

Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:

Пример 3

Вычислим

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,

Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.

Пример 4

Найдем область определения функции

Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства которое эквивалентно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго - Этот промежуток и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции

Пример 5

Найдем область изменения функции

Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).

Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что Таким образом, область изменения

Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть Тогда tg а = -х или х = - tg а = tg (- a ), причем Следовательно, - a = arctg х или а = - arctg х. Таким образом, видим, что т. е. у(х) - функция нечетная.

Пример 7

Выразим через все обратные тригонометрические функции

Пусть Очевидно, что Тогда Так как

Введем угол Так как то

Аналогично поэтому и

Итак,

Пример 8

Построим график функции у = cos (arcsin х).

Обозначим а = arcsin x , тогда Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x 2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos (arcsin х) является полуокружность.

Пример 9

Построим график функции у = arccos (cos x ).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке . Будем иметь в виду, что у = arccos (cos x ) = х на отрезке ; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x , теперь легко построить график.

Отметим некоторые полезные равенства:

Пример 10

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции Обозначим тогда Получим функцию Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно Таким образом, и

Пример 11

Решим уравнение

Учтем, что Тогда уравнение имеет вид: или откуда По определению арктангенса получим:

2. Решение простейших тригонометрических уравнений

Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.

Пример 12

Решим уравнение

Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде Решения этого уравнения: откуда находим

Пример 13

Решим уравнение

По приведенной формуле запишем решения уравнения: и найдем

Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:

для уравнения sin х = 1 решения

для уравнения sin х = 0 решения х = π k ;

для уравнения sin х = -1 решения

для уравнения cos х = 1 решения х = 2π k ;

для уравнения cos х = 0 решения

для уравнения cos х = -1 решения

Пример 14

Решим уравнение

Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение: откуда найдем

III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.

2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

IV. Задание на уроках

§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Задание на дом

§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. Творческие задания

1. Найдите область определения функции:

Ответы :

2. Найдите область значений функции:

Ответы:

3. Постройте график функции:

VII. Подведение итогов уроков

Цель:

Задание: Составить тест «Обратные тригонометрические функции»

Интернет ресурсы

Срок сдачи- согласно КТП

Самостоятельная работа № 14 (2ч)

По теме: « Растяжение и сжатие вдоль осей координат»

Цель: систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений обучающихся;

Задание: Реферат на тему: «Растяжение и сжатие вдоль осей координат»

Литература: А.Г.Мордкович «Алгебра и начала математического анализа» 10 кл

Интернет ресурсы

Срок сдачи- согласно КТП

Самостоятельная работа № 15 (1ч)

По теме: «Растяжение и сжатие вдоль осей координат»

Цель: формирование самостоятельности мышления, способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации

Задание: презентация: «Растяжение и сжатие вдоль осей координат»

Литература: А.Г.Мордкович «Алгебра и начала математического анализа» 10 кл

Интернет ресурсы

Срок сдачи- согласно КТП

Самостоятельная работа № 16 (2 ч)

По теме: « Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики»

Цель: систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и практических умений обучающихся

Форма выполнения задания : исследовательская работа.

Литература: А.Г.Мордкович «Алгебра и начала математического анализа» 10 кл

Интернет ресурсы

Срок сдачи- согласно КТП

Самостоятельная работа №18 (6 ч)

По теме: «Формулы половинного аргумента»

Цель: углубление и расширение теоретических знаний

Задание: Написать сообщение на тему "Формулы половинного аргумента". Составить справочную таблицу по формулам тригонометрии

Литература: А.Г.Мордкович «Алгебра и начала математического анализа» 10 кл

Интернет ресурсы

Срок сдачи- согласно КТП

Титульный лист.

План работы оформляется с названием «Оглавление»; расположение – по центру.

Список библиографических источников оформляется под заголовком «Литература». Список литературы должен включать все использованные источники: сведения о книгах (монографиях, учебниках, пособиях, справочниках и т.д.) должны содержать: фамилию и инициалы автора, заглавие книги, место издания, издательство, год издания. При наличии трех и более авторов допускается указывать фамилию и инициалы только первого из них со словами «и др.». Наименование места издания надо приводить полностью в именительном падеже: допускается сокращение названия только двух городов: Москва (М.) и Санкт Петербург (СПб.). Приведенные библиографические источники должны быть отсортированы в алфавитном порядке по возрастанию. Список должен состоять не менее чем из трех источников.

Каждая новая часть работы, новая глава, новый параграф начинается с последующей страницы.

Приложение оформляются на отдельных листах, каждое приложение имеет порядковый номер и тематический заголовок. Надпись «Приложение» 1 (2.3...) оформляется в правом верхнем углу. Заголовок приложения оформляется как заголовок параграфа.

Объем работы не менее 10 листов напечатанных на компьютере (машинке) страниц; оглавление, список литературы и приложения не включаются в указанное количество страниц.

Текст рукописи печатается шрифтом № 14, с интервалом - 1,5.

Поля: слева - 3 см, справа - 1 см, сверху и снизу - 2 см.

Красная строка - 1,5 см. Межабзацный интервал – 1,8.

После цитаты в тексте работы используются знаки: «...», , где номер библиографического источника берется из списка использованной литературы.

Обращение к тексту приложения оформляется следующим образом: (см. Приложение 1).

Оформление схем алгоритмов, таблиц и формул. Иллюстрации (графики, схемы, диаграммы) могут быть в основном тексте реферата и в разделе приложений. Все иллюстрации именуются рисунками. Все рисунки, таблицы и формулы нумеруются арабскими цифрами и имеют сквозную нумерацию в пределах приложения. Каждый рисунок должен иметь подпись. Например:

Рис.12. Форма главного окна приложения.

На все рисунки, таблицы и формулы в работе должны быть ссылки в виде: «форма главного окна приложения приведена на рис. 12.».

Рисунки и таблицы должны размещаться сразу после той страницы, на которой в тексте записки она упоминается в первый раз. Если позволяет место, рисунок (таблица) может размещаться в тексте на той же странице, где на него дается первая ссылка.

Если рисунок занимает более одной страницы, на всех страницах, кроме первой, проставляется номер рисунка и слово «Продолжение». Например:

Рис. 12. Продолжение

Рисунки следует размещать так, чтобы их можно было рассматривать без поворота записки. Если такое размещение невозможно, рисунки следует располагать так, чтобы для их просмотра надо было бы повернуть работу по часовой стрелке.

Схемы алгоритмов должны быть выполнены в соответствии со стандартом ЕСПД. Толщина сплошной линии при вычерчивании схем алгоритмов должна быть в пределах от 0,6 до 1,5 мм. Надписи на схемах должны быть выполнены чертежным шрифтом. Высота букв и цифр должна быть не менее 3,5 мм.

Номер таблицы размещается в правом верхнем углу над заголовком таблицы, если он есть. Заголовок, кроме первой буквы, выполняется строчными буквами. В аббревиатурах используются только заглавные буквы. Например: ПЭВМ.

Номер формулы ставится с правой стороны страницы в круглых скобках на уровне формулы. Например: z:=sin(x)+cos(y); (12).

Например: расчет значений производится по формуле (12).

Нумеровать страницы работы по книжному варианту: печатными цифрами, в нижнем правом углу страницы, начиная с текста «Введения» (с. 3). Работа нумеруется сквозно, до последней страницы.

Пишется слово «глава», главы нумеруются римскими цифрами, параграфы - арабскими, знак; не пишется; части работы «Введение». «Заключение», «Литература» нумерации не имеют.

Названия глав и параграфов пишутся с красной строки.

Заголовки «Введение», «Заключение», «Литература» пишутся посередине, вверху листа, без кавычек, точка не ставится.

Объем введения и заключения работы - 1,5-2 страницы печатного текста.

Работа должна быть прошита.

В работе используются три вида шрифта: 1 - для выделения названий глав, заголовков «Оглавление», «Литература», «Введение», «Заключение»; 2 - для выделения названий параграфов; 3 - для текстовки

Требования к презентации

На первом слайде размещается:

ü название презентации;

На втором слайде указывается содержание работы, которое лучше оформить в виде гиперссылок (для интерактивности презентации).

На последнем слайде указывается список используемой литературы в соответствии с требованиями, интернет-ресурсы указываются в последнюю очередь.

В процессе работы обучающиеся:

Просматривают и изучают необходимый материал, как в лекциях, так и в дополнительных источниках информации;

Составляют список слов раздельно по направлениям;

Составляют вопросы к отобранным словам;

Проверяют орфографию текста, соответствие нумерации;

Оформляют готовый кроссворд.

Общие требования при составлении кроссвордов:

Не допускается наличие "плашек" (незаполненных клеток) в сетке кроссворда;

Не допускаются случайные буквосочетания и пересечения;

Загаданные слова должны быть именами существительными в именительном падеже единственного числа;

Двухбуквенные слова должны иметь два пересечения;

Трехбуквенные слова должны иметь не менее двух пересечений;

Не допускаются аббревиатуры (ЗиЛ и т.д.), сокращения (детдом и др.);

Все тексты должны быть написаны разборчиво, желательно отпечатаны.

Требования к оформлению:

Рисунок кроссворда должен быть четким;

Сетки всех кроссвордов должны быть выполнены в двух экземплярах:

1-й экз. - с заполненными словами;

2-й экз. - только с цифрами позиций.

Ответы публикуются отдельно. Ответы предназначены для проверки правильности решения кроссворда и дают возможность ознакомиться с правильными ответами на нерешенные позиции условий, что способствует решению одной из основных задач разгадывания кроссвордов - повышению эрудиции и увеличению словарного запаса.

Критерии оценивания составленных кроссвордов:

1. Четкость изложения материала, полнота исследования темы;

2. Оригинальность составления кроссворда;

3. Практическая значимость работы;

4. Уровень стилевого изложения материала, отсутствие стилистических ошибок;

5. Уровень оформления работы, наличие или отсутствие грамматических и пунктуационных ошибок;

6. Количество вопросов в кроссворде, правильное их изложения.

Для того чтобы практические занятия приносили максимальную пользу, необходимо помнить, что упражнение и решение ситуативных задач проводятся по вычитанному на лекциях материалу и связаны, как правило, с детальным разбором отдельных вопросов лекционного курса. Следует подчеркнуть, что только после усвоения лекционного материала с определенной точки зрения (а именно с той, с которой он излагается на лекциях) он будет закрепляться на практических занятиях как в результате обсуждения и анализа лекционного материала, так и с помощью решения ситуативных задач. При этих условиях студент не только хорошо усвоит материал, но и научится применять его на практике, а также получит дополнительный стимул (и это очень важно) для активной проработки лекции.

При самостоятельном решении поставленных задач нужно обосновывать каждый этап действий, исходя из теоретических положений курса. Если обучающийся видит несколько путей решения проблемы (задачи), то нужно сравнить их и выбрать самый рациональный. Полезно до начала решения поставленных задач составить краткий план решения проблемы (задачи). Решение проблемных задач или примеров следует излагать подробно, нужно сопровождать комментариями, схемами, чертежами и рисунками, инструкциями по выполнению.

Следует помнить, что решение каждой учебной задачи должно доводиться до окончательного логического ответа, которого требует условие, и по возможности с выводом. Полученный результат следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи.

· Основные термины тестового задания должны быть явно и ясно определены.

· Тестовые задания должны быть прагматически корректными и рассчитаны на оценку уровня учебных достижений обучающихся по конкретной области знаний.

· Тестовые задания должны формулироваться в виде свернутых кратких суждений.

· Следует избегать тестовых заданий, которые требуют от тестируемого развернутых заключений на требования тестовых заданий.

· При конструировании тестовых ситуаций можно применять различные формы их представления, а также графические и мультимедийные компоненты с целью рационального предъявления содержания учебного материала.

Количество слов в тестовом задании не должно превышать 10-12, если при этом не искажается понятийная структура тестовой ситуации. Главным считается ясное и явное отражение содержания фрагмента предметной области.

Среднее время заключения обучающегося на тестовое задание не должно превышать 1,5 минуты.

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

ГОУ ВПО «Марийский Государственный Университет»

Кафедра математики и МПМ

Курсовая работа

Обратные тригонометрические функции

Выполнила:

студентка

33 группы ЕНФ

Яшметова Л. Н.

Научный руководитель:

к.п.н. доцент

Бородина М. В.

Йошкар-Ола

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава I. Определение обратных тригонометрических функций.

1.1. Функция у = arcsin x ……………………………………………………........4

1.2. Функция у = arccos x …………………………………………………….......5

1.3. Функция у = arctg x ………………………………………………………….6

1.4. Функция у = arcctg x …………………………………………………….......7

Глава II. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

Основные соотношения для обратных тригонометрических функций….8

Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции……………………………………………………………………..11

Вычисление значений обратных тригонометрических функций…..........21

Заключение……………………………………………………………………….25

Список использованной литературы…………………………………………...26

Введение

Во многих задачах встречается необходимость находить не только значения тригонометрических функций по данному углу, но и, обратно, угол или дугу по заданному значению какой-нибудь тригонометрической функции.

Задачи с обратными тригонометрическими функциями содержатся в заданиях ЕГЭ (особенно много в части В и С). Например, в части В Единого государственного экзамена требовалось по значению синуса (косинуса) найти соответствующее значение тангенса или вычислить значение выражения, содержащего табличные значения обратных тригонометрических функций. Относительно этого типа заданий заметим, что таких заданий в школьных учебниках недостаточно для формирования прочного навыка их выполнения.

Т.о. целью курсовой работы является рассмотреть обратные тригонометрические функции и их свойства, и научиться решат задачи с обратными тригонометрическими функциями.

Чтобы достичь цели, нам потребуется решить следующие задачи:

Изучить теоретические основы обратных тригонометрических функций,

Показать применение теоретических знаний на практике.

Глава I . Определение обратных тригонометрических функций

1.1. Функция у = arcsin x

Рассмотрим функцию ,
. (1)

В этом промежутке функция монотонна (возрастает от -1 до 1), следовательно, существует обратная функция

,
. (2)

Каждому данному значению у (величины синуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение х (величины дуги) из промежутка
. Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

Где
. (3)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (1). Функция (3) называется арксинусом аргумента . График этой функции – кривая, симметричная графику функции , где , относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Приведем свойства функции, где .

Свойство 1. Область изменения значений функции: .

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е.

Свойство 3. Функция, где , имеет единственный корень
.

Свойство 4. Если, то
; если , то.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до 1 значение функции возрастает от
до
.

1.2. Функция y = ar с cos x

Рассмотрим функцию
, . (4)

В этом промежутке функция монотонна (убывает от +1 до -1), значит, для нее существует обратная функция

, , (5)

т.е. каждому значению (величины косинуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка . Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

, . (6)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (4). Функция (6) называется арккосинусом аргумента х . График этой функции можно построить на основании свойств графиков взаимно обратных функций.

Функция , где , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции :
.

Свойство 2. Величины
и
связаны соотношением

Свойство 3. Функция имеет единственный корень
.

Свойство 4. Функция отрицательных значений не принимает.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до +1 значения функции убывают от до 0.

1.3. Функция y = arctgx

Рассмотрим функцию
,
. (7)

Отметим, что эта функция определена для всех значений , лежащих строго внутри промежутка от до ; на концах этого промежутка она не существует, так как значения

- точки разрыва тангенса.

В промежутке
функция монотонна (возрастает от -
до
), следовательно, для функции (1) существует обратная функция:

,
, (8)

т.е. каждому данному значению (величины тангенса) из промежутка
соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка .

Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

,
. (9)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной (7). Функция (9) называется арктангенсом аргумента х . Отметим, что при
значение функции
, а при

, т.е. график функции имеет две асимптоты:
и.

Функция , , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции
.

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е. .

Свойство 3. Функция имеет единственный корень .

Свойство 4. Если
, то

; если , то
.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от до значения функции возрастают от до +.

1.4. Функция y = arcctgx

Рассмотрим функцию
,
. (10)

Эта функция определена для всех значений , лежащих внутри промежутка от 0 до ; на концах этого промежутка она не существует, поскольку значения и - точки разрыва котангенса. В промежутке (0,) функция монотонна (убывает от до), следовательно, для функции (1) существует обратная функция

, (11)

т.е. каждому данному значению (величины котангенса) из промежутка (
) соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка (0,). Переходя к общепринятым обозначениям, получаем связаны соотношением.Реферат >> Математика тригонометрическим функциям . К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций : аркси́нус...