Взаимное расположение двух плоскостей признак параллельности плоскостей. Взаимное расположение двух плоскостей
Пусть даны две плоскости
Первая плоскость имеет нормальный вектор (А 1 ;В 1 ;С 1), вторая плоскость (А 2 ;В 2 ;С 2).
Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т.е. = l для некоторого числа l. Поэтому
─ условие параллельности плоскости.
Условие совпадения плоскостей:
,
так как в этом случае умножая второе уравнение на l = , получим первое уравнение.
Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т.е. = 0, или
А 1 А 2 + В 1 В 2 + С 1 С 2 = 0.
Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.
Угол между двумя плоскостями.
Угол между двумя плоскостями
А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0,
А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0
это угол между их нормальными векторами и , поэтому
cosj = =
.
Прямая в пространстве.
Векторно-параметрическое уравнение прямой.
Определение. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (х 0 ;у 0 ;z 0) и имеющей направляющий вектор = (а 1 ;а 2 ;а 3).
Отложим из точки М 0 вектор . Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка данной прямой, а ─ её радиус- вектор точки М 0 . Тогда , , поэтому . Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.
Параметрические уравнения прямой.
В векторно-параметрическом уравнении прямой перейдёт к координатным соотношениям (х;у;z) = (х 0 ;у 0 ;z 0) + (а 1 ;а 2 ;а 3)t. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой
х = х 0 + а 1 t,
у = у 0 +а 2 t, (4)
Канонические уравнения прямой.
Из уравнений (4) выразим t:
t = , t = , t = ,
откуда получаем канонические уравнения прямой
= = (5)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1) и М 2 (х 2 ;у 2 ;z 2). В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор = (х 2 – х 1 ;у 2 – у 1 ;z 2 – z 1). Поскольку прямая проходит через точка М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), то её канонические уравнения в соответствии с (5) запишутся в виде
(6)
Угол между двумя прямыми.
Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = (а 1 ;а 2 ;а 3) и .
Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому
cosj = =
(7)
Условие перпендикулярности прямых:
а 1 в 1 + а 2 в 2 + а 3 в 3 = 0.
Условие параллельности прямых:
l,
. (8)
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Пусть даны две прямые
и
.
Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е.
= 0 (9)
Если в (9) первые две строки пропорциональны, то прямые параллельны. Если все три строки пропорциональны, то прямые совпадают. Если условие (9) выполнено и первые две строки не пропорциональны, то прямые пересекаются.
Если же
¹ 0, то прямые являются скрещивающимися.
Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Прямая как пересечение двух плоскостей.
Пусть заданы две плоскости
А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0,
А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0
Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие
.
Пусть, например ¹ .
Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости.
В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор
= × = =
.
Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение
z = z 0 и решая систему
,
получаем значения х = х 0 , у = у 0 . Итак, искомая точка М(х 0 ;у 0 ;z 0).
Искомое уравнение
.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть задана прямая х = х 0 + а 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t
и плоскость
А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0.
Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений
А 1 (х 0 + а 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,
(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.
Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 ¹ 0, то система имеет единственное решение
t = t 0 = -
.
В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), где
х 1 = х 0 + а 1 t 0 , y 1 = y 0 + a 2 t 0 , z 1 = z 0 + a 3 t 0 .
Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 ¹ 0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны.
Если же А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 = 0, то прямая принадлежит плоскости.
Угол между прямой и плоскостью.
В планиметрии плоскость является одной из основных фигур, поэтому, очень важно иметь ясное представление о ней. Эта статья создана с целью раскрытия этой темы. Сначала дано понятие плоскости, ее графическое представление и показаны обозначения плоскостей. Далее плоскость рассматривается вместе с точкой, прямой или другой плоскостью, при этом возникают варианты из взаимного расположения в пространстве. Во втором и третьем и четвертом пункте статьи как раз разобраны все варианты взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости, а также точки и плоскости, приведены основные аксиомы и графические иллюстрации. В заключении даны основные способы задания плоскости в пространстве.
Навигация по странице.
Плоскость – основные понятия, обозначения и изображение.
Простейшими и основными геометрическими фигурами в трехмерном пространстве являются точка, прямая и плоскость. Мы уже имеем представление о точке и прямой на плоскости . Если поместить плоскость, на которой изображены точки и прямые, в трехмерное пространство, то мы получим точки и прямые в пространстве. Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.
Точки и прямые в пространстве обозначаются также как и на плоскости – большими и маленькими латинскими буквами соответственно. Например, точки А и Q , прямые а и d . Если заданы две точки, лежащие на прямой, то прямую можно обозначить двумя буквами, соответствующими этим точкам. К примеру, прямая АВ или ВА проходит через точки А и В . Плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами, например, плоскости , или .
При решении задач возникает необходимость изображать плоскости на чертеже. Плоскость обычно изображают в виде параллелограмма или произвольной простой замкнутой области.
Плоскость обычно рассматривается вместе с точками, прямыми или другими плоскостями, при этом возникают различные варианты их взаимного расположения. Переходим к их описанию.
Взаимное расположение плоскости и точки.
Начнем с аксиомы: в каждой плоскости имеются точки. Из нее следует первый вариант взаимного расположения плоскости и точки – точка может принадлежать плоскости. Другими словами, плоскость может проходить через точку. Для обозначения принадлежности какой-либо точки какой-либо плоскости используют символ «». Например, если плоскость проходит через точку А , то можно кратко записать .
Следует понимать, что на заданной плоскости в пространстве имеется бесконечно много точек.
Следующая аксиома показывает, сколько точек в пространстве необходимо отметить, чтобы они определяли конкретную плоскость: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна. Если известны три точки, лежащие в плоскости, то плоскость можно обозначить тремя буквами, соответствующими этим точкам. Например, если плоскость проходит через точки А , В и С , то ее можно обозначить АВС .
Сформулируем еще одну аксиому, которая дает второй вариант взаимного расположения плоскости и точки: имеются по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Итак, точка пространства может не принадлежать плоскости. Действительно, в силу предыдущей аксиомы через три точки пространства проходит плоскость, а четвертая точка может как лежать на этой плоскости, так и не лежать. При краткой записи используют символ «», который равносилен фразе «не принадлежит».
К примеру, если точка А не лежит в плоскости , то используют краткую запись .
Прямая и плоскость в пространстве.
Во-первых, прямая может лежать в плоскости. В этом случае, в плоскости лежат хотя бы две точки этой прямой. Это устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. Для краткой записи принадлежности некоторой прямой данной плоскости пользуются символом «». Например, запись означает, что прямая а лежит в плоскости .
Во-вторых, прямая может пересекать плоскость. При этом прямая и плоскость имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. При краткой записи пересечение обозначаю символом «». К примеру, запись означает, что прямая а пересекает плоскость в точке М . При пересечении плоскости некоторой прямой возникает понятие угла между прямой и плоскостью .
Отдельно стоит остановиться на прямой, которая пересекает плоскость и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Такую прямую называют перпендикулярной к плоскости. Для краткой записи перпендикулярности используют симовл «». Для более глубокого изучения материала можете обратиться к статье перпендикулярность прямой и плоскости .
Особую значимость при решении задач, связанных с плоскостью, имеет так называемый нормальный вектор плоскости . Нормальным вектором плоскости является любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости.
В-третьих, прямая может быть параллельна плоскости, то есть, не иметь в ней общих точек. При краткой записи параллельности используют символ «». Например, если прямая а параллельна плоскости , то можно записать . Рекомендуем подробнее изучить этот случай, обратившись к статье параллельность прямой и плоскости .
Следует сказать, что прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость на две полуплоскости. Прямая в этом случае называется границей полуплоскостей. Любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой, а две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от граничной прямой.
Взаимное расположение плоскостей.
Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки.
Две плоскости в пространстве могут пересекаться. Пересечением двух плоскостей является прямая линия, что устанавливается аксиомой: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае возникает понятие угла между пересекающимися плоскостями . Отдельный интерес представляет случай, когда угол между плоскостями равен девяноста градусам. Такие плоскости называют перпендикулярными. О них мы поговорили в статье перпендикулярность плоскостей .
Наконец, две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек. Рекомендуем ознакомиться со статьей параллельность плоскостей , чтобы получить полное представление об этом варианте взаимного расположения плоскостей.
Способы задания плоскости.
Сейчас мы перечислим основные способы задания конкретной плоскости в пространстве.
Во-первых, плоскость можно задать, зафиксировав три не лежащие на одной прямой точки пространства. Этот способ основан на аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Если в трехмерном пространстве зафиксирована и задана плоскость с помощью указания координат трех ее различных точек, не лежащих на одной прямой, то мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .
Два следующих способа задания плоскости являются следствием из предыдущего. Они основаны на следствиях из аксиомы о плоскости, проходящей через три точки:
- через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, притом только одна (смотрите также статью уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку);
- через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (рекомендуем ознакомиться с материалом статьи уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые).
Четвертый способ задания плоскости в пространстве основан на определении параллельных прямых . Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, указав две параллельные прямые в пространстве, мы определим единственную плоскость, в которой эти прямые лежат.
Если в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат задана плоскость указанным способом, то мы можем составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые .
В курсе средней школы на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через фиксированную точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Таким образом, мы можем задать плоскость, если укажем точку, через которую она проходит, и прямую, перпендикулярную к ней.
Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость указанным способом, то можно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой .
Вместо прямой, перпендикулярной к плоскости, можно указать один из нормальных векторов этой плоскости. В этом случае есть возможность написать
Вопрос 7.
Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными, и в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекающимися. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей и будут рассмотрены ниже.
Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. При решении различных задач часто приходится через данную точку А проводить плоскость β , параллельную данной плоскости α .
На рис. 81 плоскость α задана двумя пересекающимися прямыми а и b. Искомая плоскость β определена прямыми а1 и b1 , соответственно параллельными a и b и проходящими через заданную точку A1.
Пересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.
Перед тем как рассмотреть построение линии пересечения двух плоскостей, разберем важную и вспомогательную задачу: найдем точку К пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью.
Пусть например, даны прямая а и горизонтально проецирующая плоскость α (рис 82). Тогда горизонтальная проекция К1 искомой точки должна одновременно лежать на горизонтальной проекции α1 плоскости α и на горизонтальной проекции а1 прямой а, т.е. в точке пересечения а1 с α1 (рис 83) . Фронтальная проекция К2 точки К расположена на линии проекционной связи и на фронтальной проекции а2 прямой а.
А теперь разберем один из частных случаев пересекающихся плоскостей, когда одна из них – проецирующая.
На рис. 84 приведены плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, и горизонтально проецирующая плоскость α. Найдем две общие точки для этих двух плоскостей. Очевидно, этими общими точками для плоскостей ∆АВС и α будут точки пересечения сторон АВ и ВС треугольника АВС с проецирующей плоскостью α . Построение таких точек D и E как на пространственном чертеже (рис 84) , так и на эпюре (рис 85) не вызывает затруднений после разобранного выше примера.
Соединяя одноименные проекции точек D и Е, получим проекции линии пересечения плоскости ∆ АВС и плоскости α.
Таким образом, горизонтальная проекция D1Е1 линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскость α – с ее горизонтальными следом α1.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения α и β (рис 86). Для построения линии их пересечения необходимо, как отмечалось выше, найти две точки, общие обеим плоскостям.
Для определения этих точек заданные плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей целесообразнее взять проецирующие плоскости и, в частности, плоскости уровня. На рис. 86 первая вспомогательная плоскость уровня γ каждую из данных плоскостей пересекает по горизонталям h и h1 , которые определяют точку 1, общую для плоскостей α и β. Эта точка определяется пересечением горизонталей h2 и h3, по которым вспомогательная плоскость δ пересекает каждую из данных плоскостей.
Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.
Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство:
Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости, пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в
плоскости. Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости, и поэтому они не
пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.
Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство:
Пусть - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и. Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а,
перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость. Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. ч.т.д.
42. Нормальное уравнение плоскости и его свойства
Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где - единичный вектор,- расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки ипротивоположны).
43. Уравнения прямой линии в пространстве: Общие уравнения, каноничекие и параметрические уравнения.
Канонические уравнения:
Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данному направляющему вектору. Заметим, что точкалежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны. Это означает, что координаты этих векторов пропорциональны:
Эти уравнения называют каноническими. Заметим, что одна или две координаты направляющего вектора могут оказаться равными нулю. Но мы воспринимаем это как пропорцию: мы понимаем как равенство.
Общие уравнения:
(A1x+B1y+C1z+D1=0
(A2x+B2y+C2z+D2=0
Где коэффиценты А1-С1 не пропорциональны A2-C2,что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей
Параметрические:
Откладывая от точки векторыдля различных значений, коллинеарные направляющему вектору, мы будем получать на конце отложенных векторов различные точки нашей прямой. Из равенстваследует:
Переменную величину называют параметром. Поскольку для любой точки прямой найдется соответствующее значение параметра и поскольку различным значениям параметра соответствуют различные точки прямой, то существует взаимно однозначное соответствие между значениями параметра и точками прямой. Когда параметрпробегает все действительные числа отдо, соответствующая точкапробегает всю прямую.
44. Понятие линейного пространства. Аксиомы. Примеры линейных пространств
Пример линейного пространства – множество всех геометрических векторов.
Линейное , иливекторное пространство надполемP - этонепустое множествоL , на котором введеныоперации
сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемыйи
умножения на скаляр(то есть элемент поляP ), то есть любому элементу и любому элементуставится в соответствие элемент из, обозначаемый.
При этом на операции накладываются следующие условия:
Для любых (коммутативность сложения );
Для любых (ассоциативность сложения );
существует такой элемент , чтодля любого(существование нейтрального элемента относительно сложения ), в частности L не пусто;
для любого существует такой элемент, что(существование противоположного элемента ).
(ассоциативность умножения на скаляр );
(умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор ).
(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров );
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов ).
Элементы множества L называютвекторами , а элементы поляP -скалярами . Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
Простейшие свойства
Векторное пространство является абелевой группойпо сложению.
Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
Для любого противоположный элементявляется единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
для любых и.
для любого .
Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство называется действительным, если в нем оперция умножения векторов на число определена только для действительных числе, и комплексным, если эта оперкция определана только для комплексных чисел.
45. Базис и размерност линейного прорстранства, связь между ними.
Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами.
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество - базисом(базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
46. Координты вектора в данном базисе. Линейные операции с векторами в координатной форме
п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.
Пусть – базиспространстваи– два его произвольных вектора. Пустьи–записьэтихвектороввкоординатнойформе. Пусть, далее,– произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатнойформе.)
Пусть Ln – произвольное n-мерное пространство, B = (e1,….,en) - фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору x пренадлежащему Ln взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.
Две плоскости в пространстве могут располагаться либо параллельно друг другу, либо пересекаться.
Параллельные плоскости . В проекциях с числовыми отметками признаком параллельности плоскостей на плане служит параллельность их горизонталей, равенство заложений и совпадение направлений падения плоскостей: пл. S || пл. L - h S || h L , l S = l L , пад. I. (рис.3.11).
В геологии плоское однородное тело, сложенное той или иной породой, называют слоем. Слой ограничен двумя поверхностями, верхнюю из которых называют кровлей, а нижнюю – подошвой. Если слой рассматривается на сравнительно небольшой протяженности, то кровлю и подошву приравнивают к плоскостям, получая в пространстве геометрическую модель двух параллельных наклонных плоскостей.
Плоскость S - кровля, а плоскость L - подошва слоя (рис.3.12, а ). В геологии кратчайшее расстояние между кровлей и подошвой называют истинной мощностью (на рис.3.12, а истинная мощность обозначена буквой H). Помимо истинной мощности, в геологии используют и другие параметры слоя горной породы: вертикальную мощность – H в, горизонтальную мощность – L, видимую мощность – H вид. Вертикальной мощностью в геологии называют расстояние от кровли до подошвы слоя, измеренное по вертикали. Горизонтальная мощность слоя есть кратчайшее расстояние между кровлей и подошвой, измеренное в горизонтальном направлении. Видимая мощность – кратчайшее расстояние между видимым падением кровли и подошвы (видимым падением называют прямолинейное направление на структурной плоскости, т. е. прямую, принадлежащую плоскости). Таким образом, видимая мощность всегда больше истинной. Следует отметить, что у горизонтально залегающих слоев истинная мощность, вертикальная и видимая совпадают.
Рассмотрим прием построения параллельных плоскостей S и L, отстоящих друг от друга на заданном расстоянии (рис.3.12, б ).
На плане пересекающимися прямыми m и n задана плоскость S. Необходимо построить плоскость L, параллельную плоскости S и отстоящую от нее на расстоянии 12 м (т. е. истинная мощность – H = 12 м). Плоскость L расположена под плоскостью S (плоскость S - кровля слоя, плоскость L - подошва).
1) Плоскость S задают на плане проекциями горизонталей.
2) На масштабе заложений строят линию падения плоскости S - u S . На перпендикуляре к линии u S откладывают заданное расстояние 12 м (истинную мощность слоя H). Ниже линии падения плоскости S и параллельно ей проводят линию падения плоскости L - u L . Определяют расстояние между линиями падения обеих плоскостей в горизонтальном направлении, т. е. горизонтальную мощность слоя L.
3) Отложив на плане горизонтальную мощность от горизонтали h S , параллельно ей проводят горизонталь плоскости L с той же числовой отметкой h L . Следует обратить внимание на то, что если плоскость L расположена под плоскостью S, то горизонтальную мощность следует откладывать в направлении восстания плоскости S.
4) Исходя из условия параллельности двух плоскостей, на плане проводят горизонтали плоскости L.
Пересекающиеся плоскости . Признаком пересечения двух плоскостей обычно служит параллельность на плане проекций их горизонталей. Линию пересечения двух плоскостей в этом случае определяют точками пересечения двух пар одноименных (имеющих одинаковые числовые отметки) горизонталей (рис.3.13): ; . Соединив полученные точки N и M прямой m , определяют проекцию искомой линии пересечения. Если плоскость S (A, B, C) и L(mn) заданы на плане не горизонталями, то для построения их линии пересечения t необходимо построить две пары горизонталей с одинаковыми числовыми отметками, которые в пересечении и определят проекции точек R и F искомой прямой t (рис.3.14). На рис.3.15 представлен случай, когда у двух пересекающихся
плоскостей S и L горизонтали параллельны. Линией пересечения таких плоскостей будет горизонтальная прямая h . Для нахождения точки A, принадлежащей этой прямой, проводят произвольную вспомогательную плоскость T, которая пересекает плоскости S и L. Плоскость T пересекает плоскость S по прямой а (C 1 D 2), а плоскость L - по прямой b (K 1 L 2).
Точка пересечения прямых а и b , принадлежащих соответственно плоскостям S и L, будет общей для этих плоскостей: =А. Отметку точки А можно определить, проинтерполировав прямые a и b . Остается провести через A горизонтальную прямую h 2,9 , которая и является линией пересечения плоскостей S и L.
Рассмотрим еще один пример (рис.3.16) построения линии пересечения наклонной плоскости S с вертикальной плоскостью Т. Искомая прямая m определяется точками A и B, в которых горизонтали h 3 и h 4 плоскости S пересекают вертикальную плоскостью T. Из чертежа видно, что проекция линии пересечения совпадает с проекцией вертикальной плоскости: m º T. В решении геологоразведочных задач сечение одной или группы плоскостей (поверхностей) вертикальной плоскостью называется разрезом. Построенную в рассматриваемом примере дополнительную вертикальную проекцию прямой m называют профилем разреза, выполненного плоскостью T по заданному направлению.