Многогранники. Тела вращения

Цилиндр называется описанным около призмы , если окружности оснований цилиндра описаны около оснований призмы, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра. Призма соответственно называется вписанной в цилиндр.

Теорема . Для того чтобы около призмы можно было описать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и около ее основания можно было описать окружность.

Цилиндр называется вписанным в призму , если окружности его оснований вписаны в основания призмы, а боковая поверхность касается боковых граней призмы.

Теорема . Для того чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и в ее основание можно было вписать окружность.

Конус называется описанным около пирамиды , если окружность основания конуса описана около основания пирамиды, а боковые ребра пирамиды являются образующими конуса. Пирамида соответственно называется вписанной в конус.

Теорема . Для того чтобы около пирамиды можно было описать конус, необходимо и достаточно, чтобы боковые ребра пирамиды были равны.

Конус называется вписанным в пирамиду , если окружность его основания вписана в основание пирамиды, а боковая поверхность касается боковых граней пирамиды. Пирамида соответственно называется описанной около конуса.

Теорема . Для того чтобы в пирамиду можно было вписать конус, необходимо и достаточно, чтобы в основание пирамиды можно было вписать окружность, а вершина пирамиды ортогонально проектировалась в центр этой окружности.

Пример 1. Шар вписан в прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим ему острым углом α . Найти объем призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.48). Шар вписан в прямую призму, значит, высота призмы равна диаметру шара, а в треугольник основания вписана окружность, радиус которой равен радиусу шара. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC , у которого катет BC = a , противолежащий ему ÐBAC = α . Найдем катет AC и гипотенузу AB :

Площадь треугольника ABC равна:

Вычислим радиус окружности, вписанной в треугольник:

Вычисляем объем призмы по формуле

Получаем ответ:

Пример 2 . Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно a. Двугранный угол, образованный смежными боковыми гранями, равен β . Найти радиус шара, описанного около этой пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.49): ABCD – квадрат, SO – высота пирамиды, ÐAEC = b – двугранный угол.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды – треугольник SBD (SB = SD ). Радиусом шара, описанного около данной пирамиды, будет радиус окружности, описанной около треугольника SBD . Найдем его по формуле

Из подобия треугольников (ÐSOB = ÐSEO = 90°, ÐBSO = ÐOSE ) следует пропорциональность сторон: SB /SO = BO /OE .

Из треугольника найдем Так как АО = ВО , то Следовательно,

Вычисляем радиус окружности:

Получаем ответ:

Пример 3. В усеченный конус вписан шар радиуса R . Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом a . Найти объем усеченного конуса.

Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса (рис. 12.50).

Введем обозначения: R 1 – радиус нижнего основания конуса, R 2 – радиус верхнего основания. Высота данного усеченного конуса будет равна диаметру вписанного в него шара 2R . Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC : ÐB = 90°, ÐA = a , BC = 2R . Найдем катет BA и гипотенузу AC : BA = BC × ctga , Так как в усеченный конус вписан шар, то образующая этого конуса равна сумме радиусов его оснований. Получим равенство:

Заметим, что

Решив систему найдем

Вычисляем объем усеченного конуса по формуле (12.8).

Получаем ответ:

Пример 4 . В шар радиуса R вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол φ . Найти площадь полной поверхности конуса.

Решение. Для вычисления площади полной поверхности конуса необходимо знать радиус основания и образующую конуса. Рассмотрим осевое сечение данного конуса – равнобедренный треугольник SAB : SA = SB – образующие, SD – высота, DB – радиус основания конуса (рис. 12.51).

По условию задачи ÐSAD = φ , следовательно, Треугольник AOS – равнобедренный (AO = OS = R ), поэтому Внешний угол этого треугольника при вершине О равен: ÐAOD = ÐSAO + ÐASO = p – 2j .

Из треугольника AOD (ÐD = 90°, AO = R , ÐAOD = p – 2j ) выразим AD :

Из треугольника ASD (ÐD = 90°, AD = R sin 2j ) выразим SA :

Подставив найденные выражения в формулу для вычисления площади полной поверхности конуса, получим:

Таким образом,

Пример 5 . В прямой параллелепипед вписан цилиндр, объем которого в m раз меньше объема параллелепипеда. Найти двугранные углы при боковых ребрах параллелепипеда.

Решение. Двугранными углами при боковых ребрах данного параллелепипеда являются углы параллелограмма, лежащего в его основании. В параллелепипед вписан цилиндр, значит, в параллелограмм основания вписана окружность. Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противолежащих сторон четырехугольника равны. Таким образом, основанием параллелепипеда является ромб. Сделаем рисунок (рис. 12.52).

Обозначим искомый угол a . Из треугольника ABC (ÐC = 90°, ÐA = a ) найдем сторону ромба AB и его высоту BC :

Так как высоты цилиндра и параллелепипеда равны, то площадь основания цилиндра будет в m раз меньше площади основания параллелепипеда. Запишем равенство: и выразим из него далее

Двугранные углы при боковых ребрах параллелепипеда будут равны:

И

Задания

I уровень

1.1. В правильную четырехугольную пирамиду с объемом вписан конус. Найдите его объем.

1.2. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом a , вписана пирамида. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Найдите объем пирамиды, если

1.3. Около цилиндра описана правильная четырехугольная призма, периметр основания которой равен 12 см, а площадь боковой поверхности равна 48 см 2 . Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

1.4. В равносторонний цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна вписана правильная шестиугольная призма. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

1.5. Усеченный конус описан около правильной треугольной усеченной пирамиды. Радиус верхнего основания в 2 раза меньше радиуса нижнего основания конуса, высота равна 4 см, а образующая – 5 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

1.6. В куб вписан шар и около куба описан шар. Найдите отношение объемов этих шаров.

1.7. В сферу вписан цилиндр. Площадь основания цилиндра равна 16p см 2 , тангенс угла наклона диагонали его осевого сечения к плоскости основания равен 3. Найдите площадь сферы.

1.8. В конус, площадь боковой поверхности которого в 2 раза больше площади основания, вписан шар. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 8 см.

1.9. В цилиндрическую мензурку, диаметр которой 2,5 см, заполненную водой до некоторого уровня, опускают четыре равных металлических шарика диаметром 1 см. Определите, на сколько изменится уровень воды в мензурке.

1.10. Основания шарового слоя и цилиндра совпадают. Объем тела, заключенного между их боковыми поверхностями, равен 36p см 3 . Найдите высоту шарового слоя.

II уровень

2.1. Равносторонний треугольник, сторона которого равна а , вращается вокруг внешней оси, параллельной его высоте и удаленной от нее на Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

2.2. Усеченный конус вписан в четырехугольную усеченную пирамиду, основание которой – ромб со стороной а и углом a . Площадь боковой поверхности пирамиды равна S , боковые грани наклонены к основанию пирамиды под углом b . Найдите объем усеченного конуса.

2.3. В правильной треугольной призме боковое ребро равно стороне основания. Около призмы описан шар, а около шара описан конус. Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол a . Найдите объем призмы.

2.4. В пирамиде, все боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания, через центр вписанного шара проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Отношение площади сечения пирамиды этой плоскостью к площади основания равно k . Найдите угол между боковой гранью и основанием пирамиды.

2.5. В шар радиуса R вписаны два конуса с общим основанием. Вершины конусов совпадают с противоположными концами диаметра шара. Шаровой сегмент, вмещающий меньший конус, имеет в осевом сечении дугу a . Найдите расстояние между центрами шаров, вписанных в эти конусы.

2.6. Шар касается всех боковых ребер правильной четырехугольной призмы и ее оснований. Найдите отношение площади поверхности шара, лежащей вне призмы, к площади полной поверхности призмы.

2.7. В правильную четырехугольную пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что одна из его образующих расположена на диагонали основания пирамиды, а окружность основания касается двух смежных боковых граней пирамиды. Найдите радиус основания цилиндра, если боковое ребро пирамиды равно b , а угол его наклона к плоскости основания равен a .

2.8. Ребро тетраэдра равно 8 см. Цилиндрическая поверхность проходит через одно из его ребер и через все его вершины. Найдите радиус основания цилиндра.

2.9. Ребра треугольной пирамиды, выходящие из вершины S , попарно перпендикулярны и равны a , b и c . Найдите объем куба, вписанного в пирамиду так, что одна из его вершин совпадает с вершиной S пирамиды.

2.10. В усеченный конус вписан шар, объем которого составляет объема конуса. Найдите угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса.

III уровень

3.1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и образует с плоскостью основания угол α . В пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что его нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите высоту цилиндра.

3.2. Сфера с центром в вершине конуса касается его основания и делит поверхность конуса на две части, имеющие равные площади. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

3.3. В куб, ребро которого равно a , вписан конус с углом между образующими в осевом сечении, равным α . Найдите длину образующей и радиус основания конуса, если его высота лежит на диагонали куба.

3.4. Шар касается трех граней куба, содержащих одну вершину, и проходит через вершину куба, противолежащую первой. Найдите радиус шара, если ребро куба равно a .

3.5. Цилиндр завершен сверху полушаром. Объем тела равен 45π . При каком радиусе полушара полная поверхность тела будет наименьшей?

3.6. В конус с радиусом основания R и высотой H вписан цилиндр. Найдите линейные размеры цилиндра, при которых его объем будет наибольшим.

3.7. Найдите наибольший объем правильной шестиугольной пирамиды вписанной в шар, радиус которого равен R .

3.8. В правильную четырехугольную пирамиду вписан цилиндр так, что окружность его верхнего основания касается всех боковых граней пирамиды, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Какую часть высоты пирамиды должна составлять высота цилиндра, чтобы объем цилиндра был наибольшим?

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: Многогранники и тела вращенияПонарьина Евгения ВалентиновнаМБОУ СОШ №432016 годг.Воронеж МногогранникиТело, которое ограничено плоскими многоугольниками, называется многогранником. Многоугольники, образующие поверхность многогранника, называются гранями. Стороны этих многоугольников - рёбра многогранников. Вершины многоугольников - вершины многогранников. Многогранники МногогранникиПризмаПараллелепипедПирамида Элементы многогранниковГрани:АBСD, АА1В1В, АА1D1D,СС1В1В, СС1D1D, А1В1С1D1Ребра:АB, ВС, СD, DA, АА1, ВВ1, СС1 , DD1, А1В1 , В1С1, С1D1 , D1A1 Вершины:А, B, С, D, А1, В1, С1, D1 ПризмаОпр: Призмой называется многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов.Многоугольники – основания призмыПараллелограммы – грани призмыПараллельные отрезки, соединяющие вершины многоугольников – боковые ребра призмы ПризмаПрямая призмаНаклонная призмаПравильная призмаОпр: Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниямОпр: Призма называется наклонной, если ее боковые ребра неперпендикулярны основаниям и наклонены к ним под некоторым углом.Опр: Призма называется правильной, если она прямая и в основании у нее лежит правильный многоугольник ПараллелепипедОпр: Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм ПараллелепипедПрямойпараллелепипедПрямоугольный параллелепипедКубОпр: Параллелепипед называется прямым, если его ребра перпендикулярны основаниям.Опр: Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, в основании которого – прямоугольник.Опр: Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны. ПирамидаОпр: n- угольной пирамидой называется многогранник, одна грань которого произвольный n-угольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.Многоугольник А1А2…Аn – называется основанием.Точка S – вершина пирамиды.Отрезки SA1, SA2 … SAn – боковые ребра пирамиды.ΔA1SA2 … ΔAn-1SAn – боковые грани пирамиды. Правильная пирамидаОпр: Пирамида называется правильной, если ее основание правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания является ее высотой. (SO – высота)Опр: Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания, а так же длина этого отрезка.Опр: Центром правильного многоугольника называется центр вписанной в нее или описанной около нее окружности.Опр: Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины называется апофемой этой пирамиды.h - апофема ЗаданиеНекоторые из фигур на картинке являются многогранниками, а некоторые - нет. Под какими номерами изображены многогранники? ЗаданиеНекоторые из многогранников на рисунке являются пирамидами, а некоторые - нет. Под какими номерами изображены пирамиды? Тела вращенияТело вращения- это фигура, полученная вращением плоского многоугольника вокруг оси. Тела вращенияЦилиндрКонусШар, сфера ЦилиндрОпр: Прямым круговым цилиндром называется фигура, образованная двумя равными кругами, плоскости которых перпендикулярны прямой, проходящей через их центры, а также всеми отрезками, параллельными этой прямой, с концами на окружностях данных кругов. Элементы цилиндраОпр: Два круга, образующие цилиндр называются основаниями. Опр: Радиус основания цилиндра называется радиусом этого цилиндра.Опр: Прямая, проходящая через центры оснований цилиндра, называется его осью.Опр: Отрезок, соединяющий центры оснований, а также длина этого отрезка, называются высотой цилиндра.Опр: Отрезок, параллельный оси цилиндра, с концами на окружностях его оснований называется образующей данного цилиндра. Сечения цилиндра КонусОпр: Рассмотрим окружность L с центром O и отрезок OP, перпендикулярный к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P.Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки – образующими этой поверхности.Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ КонусОпр: Коническая поверхность называется боковой поверхностью, а круг – основанием конуса. Отрезок OP называется высотой, прямая OP – ось конуса. Точка Р называется вершиной конуса.Образующие конической поверхности называются также образующими конуса, радиус окружности R называется радиусом конуса. Сечения конусаСечение конуса плоскостью α, перпендикулярной к его оси Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник СфераОпр: Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки. Эта точка называется центром сферы. Опр: Отрезок, соединяющий любую точку сферы и ее центр, а также длина этого отрезка называются радиусом сферы.Шаром называется фигура, состоящая из сферы и множества всех ее внутренних точек.Сфера называется границей или поверхностью шара, а центр сферы – центром шара. Сфера Точки, расстояние от которых до центра сферы меньше ее радиуса, называются внутренними точками сферы.Точки, расстояние от которых до центра сферы больше ее радиуса, называются внешними точками сферы. СфераОтрезок, соединяющий две точки сферы, называется хордой сферы (шара).Любая хорда, проходящая через центр сферы, называется диаметром сферы (шара).

Многогранники и тела вращения

В рамках УСП «Первые шаги в пространство»

Команда «Морские котики», г.Новокузнецк

"Морские котики"?

Морские котики не только милые, но ещё и очень умные. Они легко обучаемы. У котиков великолепная встроенная навигационная система. Несмотря на то, что это стайные животные, морские котики уходят на охоту в одиночку и вообще проявляют индивидуализм. Мы назвали себя этими животными, потому что мы хотим во многом быть похожими на них, быть смелыми и умными, ведь часто этих животных недооценивают.

Девиз команды:

Мы-морские котики, Активны и умны, Наш девиз всего три слова, Улыбаться это клево!

Стихи о геометрических фигурах

Есть на свете пирамида –

Удивительный объект,

Ее строили в Египте,

А вот как для всех секрет.

Вот хожу я по квартире и смотрю вокруг себя, И по всюду окружают тела вращения меня. На окне стоит игрушка в виде конуса она. А вот банка из-под чая форму цилиндра приняла.

Стоит на кухне холодильник По форме он параллелепипед. Как у квадрата у него Шесть граней на лицо, Однако есть отличия

У куба грани равные,

А у него противоположные.

Признаюсь вам призма, Ну очень капризна. Скажу без обмана Но так многогранна (автор Наталья У.)

А лучшая фигура-куб!

Поставлю я на кон свой зуб

И грани все и ребра в нем,

Прямо под прямым углом

Многогранники и тела вращения в объектах окружающего мира

Гипотеза: Во многих предметах окружающего мира, можно увидеть многогранники и тела вращения

Многогранник -

Геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Призма -

Многогранник, две грани которого n-угольники, а остальные грани - параллелограммы.

Параллелепипед -

Призма основаниями которой служат параллелограммы.

Куб -

Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все грани куба – равные квадраты.

Пирамида -

Многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Усеченная пирамида -

Многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.

Тела вращения -

Объемные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Цилиндр -

Фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.

Конус -

Фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси.

Вывод

В ходе исследования мы подтвердили свою гипотезу и убедились, что многие объекты окружающего нас мира имеют форму тел вращения и многогранников.

Гипотеза:

НЕ СУЩЕСТВУЕТ ГРАНИ МЕЖДУ МИРОМ ИСКУССТВА

И МИРОМ ГЕОМЕТРИИ.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре «Меланхолия»

на переднем плане

изобразил каменный многогранник .

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972) создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.

"Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.

Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.

Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.

На картине «Гравитация» изображён додекаэдр , образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами. На каждой из площадок живёт длинношеее четырёхногое бесхвостое фантастическое животное; его туловище находится в пирамиде, в отверстия которой оно высовывает конечности, верхушка пирамиды является одной из стен жилища соседнего чудовища .

На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Форму додекаэдра, по мнению древних, имела ВСЕЛЕННАЯ, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.

Вывод:

ГИПОТЕЗА ДОКАЗАНА, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ, МНОГОГРАННИКИ ЯВЛЯЮТСЯ НЕОТЪЕМЛЕМОЙ ЧАСТЬЮ ГЕОМЕТРИИ. НА ПРИМЕРЕ РАБОТ ВЕЛИКИХ ХУДОЖНИКОВ МЫ ДОКАЗАЛИ, ЧТО НЕ СУЩЕСТВУЕТ ГРАНИ МЕЖДУ ИСКУССТВОМ И ГЕОМЕТРИЕЙ.

Какой вклад вносит геометрия в развитие культуры человека?

Искусство - это особый способ познания и отражения действительности. Искусство развивает духовную культуру человека. Проанализировав работы великих художников мы без сомнений можем сказать, что не существует границы между миром искусства и миром геометрии. А значит геометрия так же развивает интеллектуальные, творческие способности человека, образное и пространственное мышление, поэтому данная наука является неотъемлемой частью культуры человека.

Ментальная карта «Многогранники и тела вращения в продукции предприятий моего города»

Где живет геометрия в Вашем городе?

Геометрия в Нашем городе живет по всюду!!! На какое архитектурное сооружение не посмотри, в нем обязательно присутствуют многогранники и тела вращения. Собранные вместе в одном сооружении они создают уникальные, неповторимые, гениальные здания!!!

Используемая литература:

• http://www.uzluga.ru/potrb/Многогранник+–+это+такое+тело,поверхность+которого+состоит+из+конечного+числа+плоских+многоугольниковb/part-5.html
• http://kamensky.perm.ru/proj/mng/01.htm
• http://www.liveinternet.ru/tags/%FD%F8%E5%F0/page3.html
• http://www.distedu.ru/mirror/_math/www.tmn.fio.ru/works/26x/304/d9_3.htm
• https://ru.wikipedia.org/wiki/Эшер,_Мауриц_Корнелис
• http://www.propro.ru/graphbook/graphbook/book/001/027.htm
• http://math4school.ru/mnogogranniki.html

Разделы: Технология

Цели урока:

• закрепить знания о геометрических телах, умения и навыки по построению чертежей многогранников;
• развивать пространственные представления и пространственное мышление;
• формировать графическую культуру.

Тип урока: комбинированный.

Оснащение урока: интерактивная доска MIMIO, мультимедийный проектор, компьютеры, проект mimo для интерактивной доски, мультимедийная презентация, программа «Компас-3D LT».

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

1. Приветствие;

2. Проверка явки учащихся;

3. Проверка готовности к уроку;

4. Заполнение классного журнала (и электронного)

II. Повторение раннее изученного материала

На интерактивной доске открыт проект mimo

Лист 1. На уроках математики вы изучали геометрические тела. Несколько тел вы видите на экране. Давайте вспомним их названия. Учащиеся дают названия геометрическим телам, если есть затруднения – помогаю. (Рис. 1).

1 – четырехугольная призма
2 – усеченный конус
3 – треугольная призма
4 – цилиндр
5 – шестиугольная призма
6 – конус
7 – куб
8 – усеченная шестиугольная пирамида

Лист 4 . Задание 2. Даны геометрические тела и названия геометрических тел. Вызываем ученика к доске и вместе с ним перетаскиваем многогранники и тела вращения под названия, а затем перетаскиваем названия геометрических тел (рис. 2).

Делаем вывод, что все тела делятся на многогранники и тела вращения.

Включаем презентацию «Геометрические тела» (Приложение ). Презентация содержит 17 слайдов. Можно использовать презентацию на нескольких уроках, она содержит дополнительный материал (слайды 14-17). Со слайда 8 есть гиперссылка на Презентацию 2 (развертки куба). Презентация 2 содержит 1 слайд, на котором изображены 11 разверток куба (они являются ссылками на видеоролики). На уроке использована интерактивная доска MIMIO, а также учащиеся работают на компьютерах (выполнение практической работы).

Слайд 2. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения. Многогранники: призма и пирамида. Тела вращения: цилиндр, конус, шар, тор. Схему учащиеся перечерчивают в рабочую тетрадь.

III. Объяснение нового материала

Слайд 3. Рассмотрим пирамиду. Записываем определение пирамиды. Вершина пирамиды – общая вершина всех граней, обозначается буквой S. Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды (Рис. 3).

Слайд 4. Правильная пирамида. Если основание пирамиды - правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания, то - пирамида правильная.
В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники.
Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется - апофема правильной пирамиды .

Слайд 5. Анимация построения правильной шестиугольной пирамиды с обозначением ее основных элементов (Рис. 4).

Слайд 6 . Записываем в тетрадь определение призмы. Призма – многогранник, у которого два основания (равные, параллельно расположенные многоугольники), а боковые грани параллелограммы. Призма может быть четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Призма называется по фигуре, лежащей в основании. Анимация построения правильной шестиугольной призмы с обозначением ее основных элементов (Рис. 5).

Слайд 7. Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Параллелепипед – правильная четырехугольная призма (Рис. 6).

Слайд 8. Куб – параллелепипед, все грани которого квадраты (Рис. 7).

(Дополнительный материал: на слайде есть гиперссылка на презентацию с развертками куба, всего 11 разных разверток).
Слайд 9. Записываем определение цилиндра.Тело вращения – цилиндр, образованное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон. Анимация получения цилиндра (Рис. 8).

Слайд 10. Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов (Рис.9).

Слайд 11. Усеченный конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг оси, проходящей через ее высоту (Рис. 10).

Слайд 12. Шар – тело вращения, образованное вращением круга вокруг оси, проходящей через его диаметр (Рис. 11).

Слайд 13. Тор – тело вращения, образованное вращением круга вокруг оси, параллельной диаметру круга (Рис. 12).

Учащиеся записывают определения геометрических тел в тетрадь.

IV. Практическая работа«Построение чертежа правильной призмы»

Переключаемся на проект mimio

Лист 7 . Дана треугольная правильная призма. В основании лежит правильный треугольник. Высота призмы = 70 мм, а сторона основания = 40 мм. Рассматриваем призму (направление главного вида показано стрелкой), определяем плоские фигуры, который мы увидим на виде спереди, сверху и слева. Вытаскиваем изображения видов и расставляем на поле чертежа (Рис. 13).

Учащиеся самостоятельно выполняют чертеж правильной шестиугольной призмы в программе «Компас – 3D». Размеры призмы: высота – 60 мм, диаметр описанной окружности вокруг основания – 50 мм.
Построение чертежа с вида сверху (Рис. 14).

Затем строится вид спереди (Рис. 15).

Затем строится вид слева и наносятся размеры (Рис. 16).

Работы проверяются и сохраняются на компьютерах учащимися.

V. Дополнительный материал по теме

Слайд 14 . Правильная усеченная пирамида (Рис. 17).

Слайд 15. Пирамида, усеченная наклонной плоскостью (Рис. 18).

Слайд 16. Развертка правильной треугольной пирамиды (Рис. 19).

Слайд 17. Развертка параллелепипеда (Рис. 20).

МОДЕЛЬ ОФОРМЛЕНИЯ СЦЕНАРИЯ ТВОРЧЕСКОГО УРОКА

Общие требования:

Полное название образовательного учреждения: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 90», Томская область, город Северск

Предмет: геометрия

Тема: Многогранники и тела вращения.

Класс: 11

Время реализации занятия: 2 урока (90 мин.)

Цель урока: повторение изучаемого материала.

Задачи урока:

Образовательные: контроль за уровнем усвоения материала.

Развивающие: формирование навыков продуктивного делового взаимодействия и принятия групповых решений.

Воспитательные: воспитание ответственности, коллективизма, уважительное отношение к мнению партнёра.

Тип урока: обобщающий урок

Форма урока:

• Урок – аукцион ;

Оборудование: переносная доска, карточки с вопросами, игровые денежки.

План проведения урока:

Ход урока:

Урок – аукцион является одной из форм проверки знаний, умений учащихся по данной большой теме.

Правила игры.

Класс делится на три команды, выбирается жюри. Все команды перед началом аукциона получают в «банке» (роль банкира играет один из членов жюри или учитель) первоначальный капитал в виде краткосрочного кредита под 30% годовых в размере 1000 денежек (или других денежных знаков) Приложение №1.

Это означает, что в конце игры все взявшие кредит должны вернуть в банк 1300д. (1000д. – сам кредит и 300д. составляют 30% от суммы кредита);

Расписываясь в банковской книге «Выдачи кредитом» за его получение, капитан команды одновременно с деньгами получает номер участника аукциона и лицевой счёт команды Приложение №2 . Только имёя номер, команда может претендовать на тот или иной лот (вопрос, правильный ответ на который приносит команде определенный доход, выставленный на аукционе).

Игра состоит из двух или более туров.

Перед проведением очередного тура аукционист (ведущий аукцион преподаватель) объявляет характер предлагаемых лотов и порядок проведения торгов.

Первый Тур « Конкретный вопрос».

Тур проходит по следующим правилам:

• задается конкретный вопрос по теме «Многогранники, тела вращения»;
• право на ответ может купить любая команда, имеющая номер, заплатив небольшую сумму в ходе открытых торгов;
• первоначальная стартовая цена каждого лота (права на ответ) 100д., а торговый (аукционный) шаг стоит 50д., т. е. торг ведется суммами, кратными 50д. Например, одна из команд называет свою цену за конкретный вопрос, предложенный аукционистом, - 150д. Если какая- то другая команда также хочет приобрести этот лот (право на ответ), то она называет цену – 200д. (250д. 300д. и т. д.), т. е. каждый раз цена увеличивается на 50д. (или сразу на 100д., или на 200д. и т. п.);
• называя свою цену, капитан команды должен поднять и показать аукционисту номер, который он получил перед началом аукциона;
• команда, купившая очередной лот, платит в банк сумму, за которую она купила этот выставленный лот;
• за правильный ответ на купленный вопрос команда получает денежное вознаграждение от 500 до 1500д., в зависимости от сложности вопроса;
• если участники команды неверно ответили на вопрос, они платят в банк штраф в размере 200д., и лот снимается с торгов и может быть выставлен в конце первого тура для повторной продажи.

Аукционист отвечает на вопросы участников, и открываются торги.

1.1 Чему равен угол между плоскостью основания прямого цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д. Кто дает большую цену?

1.2 Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью основания? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д.

[Равны, т.к. осевое сечение

конуса равнобедренный треугольник]

1.3 Космонавт сообщил на базу, что обнаружил странный космический объект. Это геометрически правильное твердое тело, которое выглядит одинаково, какой бы гранью ни повернулось. Так было до тех пор, пока космонавт до него не дотронулся. После чего три грани космического тела пульсируют красными огнями, три - голубями, остальные шесть - зелеными. Ученые на базе до сих по пытаются определить, что это за огни: Однако теперь они знают форму всех граней космического объекта. А вы знаете? Вознаграждение 1500д.

[Не важно, какого цвета огни, - красного, зеленого или голубого.

Объект представляет собой геометрическое тело с 12-ю гранями.

Значит, оно может быть только декаэдром (двенадцатигранником). Каждая его грань представляет собой правильный пятиугольник.]

Могут ли вершины прямоугольного треугольника с катетами 4см и см лежать на сфере радиуса см? Вознаграждение 1000д.

[Нет]

1.4 Круглое бревно весит 30кг. Сколько весит бревно, которое вдвое толще, но вдвое короче? Вознаграждение 1500д.

[От увеличения вдвое объем круглого бревна увеличивается

вчетверо; от укорочения же вдвое объем бревна уменьшается

всег о в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно

быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е; весит 60 кг.]

1.5 Какая из двух банок, изображенных на рис. 1, вместительнее - широкая, или втрое более высокая, но вдвое более узкая? Вознаграждение 1500 р.

[Высокая банка менее вместительна. Это легко проверить. Площадь основания широкой банки в 2 2, т. е. в четыре раза больше, чем узкой; высота же ее всего в три раза меньше. Значит, объем широкой банки в раза больше, чем узкой. Если содержимое высокой банки перелить в широкую, заполнится лишь ее объема.]

1.6 Чему равны углы между отрезками, проведенными на гранях куба (рис. 2)? Вознаграждение 1000д.

[ 60° (рис. 3 , а); 120°, (рис. 3, б).]

1.7 Двое заспорили о содержимом бочки. Один спорщик говорил, что воды в бочке более, чем наполовину, а другой утверждал, что менее.

Как убедиться, кто прав, не употребляя ни палки, ни веревки, ни вообще какого-либо приспособления для измерения? Вознаграждение 1500д.

[Если бы вода в бочке была налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришелся как раз у края бочки, мы увидели бы, что высшая точка два находится также на уровне воды. Это ясно из того, что плоскость, проведенная через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит, ее на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклоне бочки должен выступать из воды больший или меньший сегмент два. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклоне верхняя часть дна окажется под водой.]

1.8 Как найти вместимость объем стакана с помощью весов? Вознаграждение 1000д.

[Пусть масса стакана с водой а без воды ,

тогда где - плотность; для воды .]

1.9 «Сюрприз». Команда, купившая этот лот, получает карточку, в которой написано: «Вы имеете право на приобретение по первоначальной стартовой цене одного из лотов второго тура аукциона или получить в банке премию в размере 500д.».

1.10 Вычислите приближенно объем мяча, если в вашем распоряжении нитка и измерительная линейка. Вознаграждение 1500д.

[Пусть D - диаметр мяча, l - длина наибольшей

Окружности на поверхности мяча, найденная

с помощью нитки и линейки, тогда

1.11 С помощью мензурки определите радиус вмещающегося в нее шара. Вознаграждение 1500д.

[С помощью мензурки находим V - объем шара, а его

радиус вычисляем по формуле .]

1.12 Для тренировки смекалки представьте себе такое вынужденное положение: необходимо, пользуясь только масштабной линейкой, определить объем бутылки (с круглым, квадратным или прямоугольным дном), которая частично наполнена жидкостью. Дно бутылки предполагается плоским. Выливать или доливать жидкость не разрешается. Вознаграждение 1500д.

[Так как дно бутылки по условию имеет форму круга или квадрата, или прямоугольника, то его площадь легко можно определить при помощи одной только масштабной линейки. Обозначим площадь дна через S. Измерим высоту h 1 , жидкости в бутылке. Тогда объем той части бутылки, которую занимает жидкость, равен Sh 1 , (рис.б). Опрокидываем бутылку вверх дном и измеряем высоту h 2 , ее части от уровня жидкости до дна бутылки. Объем этой части бутылки равен Sh 2 . Остальную часть бутылки занимает жидкость, объем которой уже определен - он равен Sh 1 . Отсюда следует, что объем всей бутылки равен ]

Третий тур. Закрытый лот «Неизвестный вопрос».

В этом туре команды покупают закрытый лот, не зная, какой вопрос будет в этом лоте. В остальном правила проведения аукциона остаются прежними, лишь цена за правильный ответ на купленный в лоте вопрос увеличивается и составляет от 1500д. до 3000д. в зависимости от сложности вопроса. Вопрос формулируется лишь после того, как какая-либо команда купит лот.

«Неизвестные вопросы»:

1. Стартовая цена 100д., аукционный шаг 50д. Вопрос. Сформулируйте определение цилиндра.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Задание. Сформулируйте определение конуса.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Первоначальная стартовая цена 100д. Вопрос. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. На какие многогранники рассёкает треугольную призму плоскость, проходящая через вершину верхнего основания и противоположную ей сторону нижнего основания? [На две пирамиды: треугольную и четырехугольную (рис. 5).

1. «Сюрприз». Команда, купившая этот лот получает карточку, в которой написано: «Вы совершили удачную сделку, ваши наличные деньги увеличиваются на 50% ».

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. В результате вращения какой фигуры может быть получен усеченный конус?

1. Задание. Сформулируйте определение призмы.

1. Задание. Перечислите свойства сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 3000д. Вопрос. Назовите все виды призм. В чем состоят их различия?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 2500д. Задание. Сформулируйте определения пирамиды и усеченной пирамиды.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ? Вопрос. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Из каких тел состоит тело , полученное вращением равнобедренной трапецией вокруг большего основания? [Полученное тело состоит из двух равных конусов и цилиндра].

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Существует ли четырёхугольная пирамида, две противоположные грани которой перпендикулярны основанию пирамиды?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 2000д. Вопрос. Сформулируйте определение шара, и сферы.

В конце игры аукционист просит всех участников подсчитать сумму наличных денег, вернуть взятый в банке кредит и 30 % годовых за пользование им (т. е. 1300д.). Победителем игры считается команда, у которой на руках осталось больше всего денег.

Все учащиеся выигравшей команды получают отличные оценки; отличные оценки выставляются также наиболее активным учащимся других команд, всем остальным учащимся оценка не выставляется.

Примечания.

Вопросы, сформулированные для двух туров аукциона можно заменить на более сложные и требующими развернутых ответов, или более простыми и доступными.

Количество вопросов в каждом туре можно увеличить или уменьшить в зависимости от времени, которым располагает учитель или от интереса учеников.

Игру-аукцион можно использовать также при изучении практически любого учебного предмета. Для этого нужно лишь продумать четкие и конкретные вопросы по уже пройденному материалу и распределить их по двум турам аукциона.

Дополнения.

Все команды, участвующие в аукционе, заводят свои лицевые счета. Приложение №2.

В графе «Приход» команды фиксируют все денежные поступления, в графе «Расход» указывают все выплаты, а в графе «Остаток» - оставшиеся на данный момент денежные средства.

Первая запись, которую делает в лицевом счёте каждая команда: в графе «Приход» фиксируется полученный в банке кредит (1000д.)

Например, члены команды №1 купили в первом туре вопрос 2, указав наибольшую сумму 350д. Значит, сразу же после покупки капитан команды (или какой-либо ее участник) в лицевом счете своей команды делает запись и вычисляет остаток денежных средств:

Если команда №1 правильно ответила На купленный вопрос, то она получает денежное вознаграждение 500д. (в соответствии с правилами первого тура аукциона) и делает третью запись в графе «Приход»:

Такие же лицевые счета находятся у члена жюри (счет той команды, работу которой он оценивает).

Таким образом, ведя постоянный учет, команда в любой момент игры видит реальный остаток своих денежных средств. Это удобно и для преподавателя, если возникает необходимости проверить кредитоспособность команды.

Если у какой-либо команды закончились денежные средства, капитан может с разрешения преподавателя получить в банке дополнительный кредит (не более 1000д.), но уже под 50 % годовых.

Список использованной литературы:

1. Кордемский Б А. Удивительный мир чисел. - М., Просвещение, 1986.